Transformação z média móvel

O Guia de cientistas e engenheiros para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 13: Processamento Contínuo de Sinal A Transformada de Fourier A Transformada de Fourier para sinais contínuos é dividida em duas categorias, uma para sinais que são periódicos. E um para sinais que são aperiódicos. Os sinais periódicos usam uma versão da Transformada de Fourier chamada Série de Fourier. E são discutidos na próxima seção. A Transformada de Fourier usada com sinais aperiódicos é simplesmente chamada de Transformação de Fourier. Este capítulo descreve essas técnicas de Fourier usando apenas matemática real, assim como os últimos capítulos realizados por sinais discretos. O uso mais poderoso de matemática complexa será reservado para o Capítulo 29. A Figura 13-8 mostra um exemplo de um sinal aperiódico contínuo e seu espectro de freqüência. O sinal do domínio do tempo se estende desde o infinito negativo até o infinito positivo, enquanto que cada um dos sinais do domínio de freqüência se estende de zero para infinito positivo. Esse espectro de freqüência é mostrado em forma retangular (partes reais e imaginárias) no entanto, a forma polar (magnitude e fase) também é usada com sinais contínuos. Assim como no caso discreto, a equação de síntese descreve uma receita para construir o sinal do domínio do tempo usando os dados no domínio da frequência. Em forma matemática: em palavras, o sinal do domínio do tempo é formado pela adição (com o uso de uma integral) um número infinito de ondas de seno e coseno escalonadas. A parte real do domínio de freqüência consiste nos fatores de escala para as ondas de coseno, enquanto a parte imaginária consiste nos fatores de escala para as ondas de seno. Assim como com sinais discretos, a equação de síntese geralmente é escrita com ondas seno negativas. Embora o sinal negativo não tenha significado nessa discussão, é necessário tornar a notação compatível com a matemática complexa descrita no Capítulo 29. O ponto chave a lembrar é que alguns autores colocam esse sinal negativo na equação, enquanto outros não. Observe também que a freqüência é representada pelo símbolo, omega, um omega grega em minúsculas. Como você lembra, esta notação é chamada de freqüência natural. E tem as unidades de radianos por segundo. Ou seja, omega 2pi f. Onde f é a frequência em ciclos por segundo (hertz). A notação de frequência natural é favorecida por matemáticos e outros que fazem processamento de sinal ao resolver equações. Porque geralmente há menos símbolos para escrever. As equações de análise para sinais contínuos seguem a mesma estratégia do caso discreto: correlação com as ondas de seno e coseno. As equações são: como exemplo de utilização das equações de análise, encontraremos a resposta de freqüência do filtro passa-baixa RC. Isso é feito tomando a transformada de Fourier de sua resposta de impulso, mostrada anteriormente na Fig. 13-4, e descrito por: A resposta de freqüência é encontrada conectando a resposta de impulso nas equações de análise. Primeiro, a parte real: usando essa mesma abordagem, a parte imaginária da resposta de freqüência é calculada como sendo: Assim como com sinais discretos, a representação retangular do domínio de freqüência é ótima para a manipulação matemática, mas difícil para a compreensão humana. A situação pode ser corrigida convertendo-se em notação polar com as relações padrão: MagH (omega) ReH (omega 2) ImH (omega 2) 12 e fase H (omega) arctan ReH (omega) ImH (omega). Trabalhar através da álgebra fornece a resposta de freqüência do filtro de passagem baixa RC como magnitude e fase (ou seja, a forma polar): a Figura 13-9 mostra gráficos dessas curvas para uma freqüência de corte de 1000 hertz (ou seja, alfa 2pi1000). Quando eu estava Aprendendo sobre FTs para o trabalho real no processamento de sinal, anos atrás, eu encontrei o livro de RW Hamming39 Filtros Digitais e Bracewell39s A Transformada de Fourier e suas Aplicações são boas noções básicas. Introdução de Strang39. Para matemática aplicada. Seria um bom passo seguinte. Faça um FT finito discreto à mão de um sinal de tom puro durante alguns períodos para obter uma sensação para a filtragem combinada e a relação de interferência construtiva e destrutiva com a ortogonalização. Ndash Tom Copeland 9 de maio 12 às 6:29 Aqui é um post limpo que derruba a transformação de Fourrier. Ndash Hakim Mar 23 14 às 15:12 Aqui é um vídeo que fiz há pouco descrevendo a série fourier e a transformada fourier. É um pouco de uma abordagem de coração leve. YoutubewatchvQm84XIoTy0s ndash Carl 26 de março 14 às 7:11 Os antigos gregos tinham uma teoria de que o sol, a lua e os planetas se moviam pela Terra em círculos. Isso logo mostrou-se errado. O problema era que, se você observar os planetas cuidadosamente, às vezes eles se movem para trás no céu. Então Ptolomeu surgiu com uma nova idéia - os planetas se movem em um grande círculo, mas depois se movem ao redor de um pequeno círculo ao mesmo tempo. Pense em segurar uma vara longa e girando ao redor, e ao mesmo tempo no final da vara há uma roda que está girando. O planeta se move como um ponto na borda da roda. Bem, uma vez que começaram a observar de perto, perceberam que mesmo isso não funcionou, então eles colocaram círculos em círculos em círculos. Eventualmente, eles tinham um mapa do sistema solar que se parecia com isso: essa idéia de epículos acaba por ser uma teoria ruim. Uma razão é ruim é que agora sabemos que os planetas orbitam em elipses ao redor do sol. (As elipses não são perfeitas porque estão perturbadas pela influência de outros corpos gravitantes e por efeitos relativistas.) Mas é errado por uma razão ainda pior que essa, como ilustrado neste maravilhoso vídeo do youtube. No vídeo, ao somar círculos suficientes, eles fizeram um traço do planeta para o rosto de Homer Simpsons. Acontece que podemos fazer qualquer órbita, somando círculos suficientes, desde que possamos variar o tamanho e as velocidades. Portanto, a teoria do epiciclo das órbitas planetárias é ruim, não porque esteja errado, mas porque não diz nada sobre órbitas. Afirmar que os planetas se movem em epiciclos é matematicamente equivalente a dizer que os planetas se movem em duas dimensões. Bem, isso não está dizendo nada, mas não está dizendo muito, nem uma simples maneira matemática de representar movendo em torno de um círculo é dizer que as posições em um plano são representadas por números complexos, então um ponto em movimento no plano é representado por um Função complexa do tempo. Nesse caso, movendo-se em um círculo com raio R e freqüência angular omega é representado pela posição Se você se desloca em dois círculos, um no final do outro, sua posição é. Posso então imaginar três, quatro ou infinitamente - Muitos desses círculos foram adicionados. Se permitimos que os círculos tenham todas as possíveis freqüências angulares, agora podemos escrever. A função R (omega) é a transformada de Fourier de z (t). Se você começar por rastrear qualquer caminho dependente do tempo que deseja através de duas dimensões, seu caminho pode ser perfeitamente emulado por infinitos círculos de freqüências diferentes, todos somados, e os raios desses círculos são a transformada de Fourier do seu caminho. Advertência: devemos permitir que os círculos tenham raios complexos. Isso não é estranho, no entanto. É o mesmo que dizer que os círculos têm raios reais, mas nem todos têm que começar no mesmo lugar. No momento zero, você pode começar por muito longe que você quiser ao redor de cada círculo. Se o seu caminho se fechar sobre si mesmo, como acontece no vídeo, a transformada de Fourier acaba simplificando a série de Fourier. A maioria das frequências não são mais necessárias, e podemos escrever onde omega0 é a frequência angular associada a todo o que repete - a frequência do círculo mais lento. Os únicos círculos que precisamos são o círculo mais lento, então duas vezes mais rápido que isso, então um três vezes mais rápido do que o mais lento, etc. Ainda existem infinitamente muitos círculos se você quiser reproduzir perfeitamente um caminho repetitivo, mas eles São contáveis, infinitas agora. Se você levar os primeiros vinte minutos e deixar o resto, você deve se aproximar da resposta desejada. Desta forma, você pode usar a análise de Fourier para criar seu próprio filme de epicicleta do seu personagem de desenho animado favorito. É o que a análise de Fourier diz. As questões que subsistem são como fazê-lo, para o que é e por que funciona. Acho que na maior parte deixarei aqueles sozinhos. Como fazê-lo - como encontrar R (omega) dado z (t) é encontrado em qualquer tratamento introdutório, e é bastante intuitivo se você entender a ortogonalidade. Por que funciona é uma pergunta bastante profunda. É uma conseqüência do teorema espectral. O que é para tem uma grande variedade. É útil analisar a resposta de sistemas físicos lineares a uma entrada externa, como um circuito elétrico que responde ao sinal que eleva com uma antena ou uma massa em uma mola que responde a ser empurrada. É útil na óptica o padrão de interferência da dispersão de luz de uma rede de difração é a transformada de Fourier da grade e a imagem de uma fonte no foco de uma lente é sua transformada de Fourier. É útil na espectroscopia e na análise de qualquer tipo de fenômeno de onda. Ele converte entre as representações de posição e momentum de uma função de onda na mecânica quântica. Confira esta questão em physics. stackexchange para obter exemplos mais detalhados. As técnicas de Fourier são úteis na análise de sinal, processamento de imagem e outras aplicações digitais. Finalmente, eles são, naturalmente, úteis matematicamente, como muitas outras postagens aqui descrevem. Demorou bastante tempo para entender o que exatamente faz a transformação de Fourier, pois pode se referir a vários algoritmos, operações e resultados. Embora eu seja muito novo neste tópico, eu tentarei dar uma visão curta, mas espero, intuitiva sobre o que eu criei (sinta-se livre para me corrigir): Digamos que você tenha uma função f (t) que mapeia algum valor de tempo para alguns Valor f (t). Agora, bem, tente aproximar f como a soma de oscilações harmônicas simples, ou seja, ondas senoas de certas freqüências omega. Claro, existem algumas frequências que se encaixam perfeitamente para f e algumas que se aproximam menos. Assim, precisamos de um chapéu de valor (omega) que nos diz quanto de uma determinada oscilação com frequência omega está presente na aproximação de f. Pegue, por exemplo, a função vermelha a partir daqui, que é definida como A oscilação verde com omega1 tem o maior impacto no resultado, então digamos hat (1) 1 A onda senoidal azul (omega3) tem pelo menos algum impacto, mas sua amplitude é Muito pequeno. Assim, dizemos chapéu (3) 0,13. Outras freqüências podem não estar presentes na aproximação, portanto, escreveríamos chapéu (omega) 0 para isso. Agora, se conhecesse o chapéu (omega) não só para algumas, mas todas as frequências possíveis omega, poderíamos perfeitamente aproximar a nossa função f. E isso é o que faz a transformada contínua de Fourier. Demora alguma função f (t) de tempo e retorna outra função hat (omega) mathcal (f), sua transformada de Fourier. Que descreve o quanto de qualquer frequência dada está presente em f. É apenas uma outra representação de f, de informações iguais, mas com um domínio completamente diferente. Muitas vezes, porém, os problemas podem ser resolvidos muito mais facilmente nessa outra representação (que é como encontrar o sistema de coordenadas apropriado). Mas, dada uma transformada de Fourier, podemos integrar sobre todas as freqüências, juntar as ondas de seno ponderadas e recuperar nossa f, o que chamamos de transformada de Fourier inversa. Agora, por que alguém quer fazer isso. O mais importante, a transformada de Fourier tem muitas propriedades matemáticas agradáveis ​​(ou seja, a convolução é apenas uma multiplicação). Muitas vezes, é muito mais fácil trabalhar com as transformações de Fourier do que com a própria função. Então, nos transformamos, temos um trabalho fácil de filtrar, transformar e manipular ondas seno e transformar depois de tudo. Digamos que queremos fazer alguma redução de ruído em uma imagem digital. Em vez de manipular um texto de função. Texto para texto, transformamos todo e trabalhamos com mathcal (texto). Texto para texto. O grupo de alta freqüência que causa o ruído pode simplesmente ser cortado - mathcal (texto) (omega) 0, omega gt. Hz. Transformamos back et voil. Deixe-me parcialmente roubar a resposta aceita em MO e ilustrar isso com exemplos que entendo: a transformada de Fourier é uma representação diferente que facilita as convoluções. Ou, para citar diretamente a partir daí: a transformada de Fourier é uma mudança unitária de base para funções (ou distribuições) que diagonalizam todos os operadores de convolução. Isso geralmente envolve expressar uma função arbitrária como uma superposição de funções simétricas de algum tipo, digamos funções da forma e itx nas aplicações comuns de processamento de sinal, um sinal arbitrário é decomposto como uma superposição de ondas (ou freqüências). Exemplo 1: multiplicação polinomial Este é o uso da transformada de Fourier discreta que eu estou mais familiarizado. Suponha que você deseja multiplicar dois polinômios de grau n, dados pelos seus coeficientes (a 0., A n) e (b 0., B n). No seu produto, o coeficiente de x k é c k suma i b k-i. Esta é uma convolução, e fazê-lo ingenuamente levaria O (n 2) tempo. Em vez disso, suponha que representemos os polinômios por seus valores em 2n pontos. Então, o valor do polinômio do produto (aquele que queremos) em qualquer ponto é simplesmente o produto dos valores dos nossos dois polinômios originais. Assim, reduzimos a convolução para a multiplicação de pontos. A transformada de Fourier e o inverso correspondem à avaliação polinomial e à interpolação, respectivamente, para certos pontos bem escolhidos (raízes da unidade). A Transformada Rápida de Fourier (FFT) é uma maneira de fazer ambas as duas na hora O (n log n). Exemplo 2: Convolução das distribuições de probabilidade Suponhamos que possuamos duas variáveis ​​aleatórias independentes (contínuas) X e Y, com densidades de probabilidade f e g, respectivamente. Em outras palavras, P (X x) x - f (t) dt e P (Y y) y - f (t) dt. Muitas vezes, queremos a distribuição de sua soma XY, e isso é dado por uma convolução: P (XY z) f (t) g (z-t) dt. Essa integração pode ser difícil. Mas em vez de representar as variáveis ​​aleatórias por suas densidades, também podemos representá-las por suas funções características phi X (t) Ee itX e phi Y (t) Ee itY. Então, a função característica de XY é apenas: phi XY (t) Ee it (XY) phi X (t) phi Y (t), uma vez que eles são independentes. A função característica é a contínua transformação de Fourier da função de densidade é uma mudança de representação na qual a convolução se torna multiplicação de pontos. Para citar novamente a resposta em MO, muitas transformações que queremos estudar (tradução, diferenciação, integração) são realmente convoluções, de modo que a transformada de Fourier ajuda em um grande número de instâncias. Pense na luz que vem das estrelas. A luz tem cor ou espectro, mas é claro que os dados vêm em um fluxo 1-D. A transformada de Fourier dá-lhe o espectro das séries temporais. Você também pode pensar sobre o EQ em seu estéreo - o controle deslizante de 2kHz, o controle deslizante de 5kHz, etc. Esses controles deslizantes estão ajustando as constantes em um reino de Fourier. (Veja as ressalvas de leonbloys abaixo) (Fourier inverso apenas leva você de volta ao espectro para o sinal. Então, o que isso significa que mathcal mathcal) Para entrar na matemática disso, lembre-se que cos e pecado são apenas versões de mudança de fase umas das outras. Matematicamente, você adiciona diferentes quantidades (amplitudes) de várias ondas de pecado com deslocamento de fase e é um fato surpreendente que isso pode somar qualquer função. (Como você obtém uma linha reta como y x, por exemplo) nota: A série transformada não precisa ser uma série de tempo exatamente. Você poderia parametrizar muitas curvas por t. Por exemplo, caligrafia ou o contorno de pegadas de dinossauro. Por que é útil na física Um uso é expressar a definitiva da incerteza de Heisenberg. Uma dada função de onda Psi no espaço (posição) pode ser matemática (Psi) para o tempo (momentum). Uma vez que a conversão tempo-espaço é bijetiva, posicione amp momentum (anti) covary, ou seja, você não pode aumentar um sem diminuir o outro. Frank Wilczek faz uso de mathcal neste vídeo explicando QCD, por exemplo. Como é usado na engenharia Processamento de sinal, processamento de imagem (PDF. Saltar para a página 5), ​​e o processamento de vídeo usa a base de Fourier para representar as coisas. Uma advertência: na maioria dos usos, uma quotspectrumquot (incluindo o EQ) mede o enery por freqüência, que se relaciona com o valor absoluto da transformada de Fourier. Essa é a parte da cota da transformada de Fourier (você não possui quotphasequot) e, portanto, do espectro você não pode recuperar o sinal. (Uma segunda advertência seria relacionada ao fato de que o EQ mede um espectro de janela de tempo, que varia no tempo em que a transformada de Fourier não depende do tempo). Ndash leonbloy 14 de outubro 11 às 2:02 Aqui está a minha compreensão da transformada de Fourier como veio a mim. Imagine que você tem um objeto que faz algum som quando ele é sacudido (por exemplo, um copo de bebida, um tenedor, um prato, uma corda de guitarra, você o nomeia). Qualquer som feito dessa maneira é uma composição de várias frequências (é apenas um hemisfério perfeito que vibra em uma verdadeira onda harmônica). Agora eu quero analisar as freqüências presentes nesse som, e eu quero fazer isso de forma antiquada. Coloco o objeto em algum lugar onde é livre para oscilar e fazer som. Em seguida, toco um tom puro com alguma frequência e mede o quanto ele se move em uníssono. Se ele se move muito em uníssono, então deve haver muita dessa freqüência em seu som natural. Isto é o que faz a transformação de Fourier, apenas com funções. Em geral, a transformada de Fourier de uma função f é definida por hat f (omega) int infty f (z) e dz O termo exponencial é um movimento circular no plano complexo com freqüência omega. Ele desempenha o papel do tom puro que tocamos no objeto. A razão pela qual usamos um termo exponencial complexo em vez de um termo trigonométrico puro é que, com um termo de pecado, podemos ter azar com a fase. Desta forma, obtemos um resultado com o mesmo valor absoluto, independentemente da fase, apenas a direção do chapéu f (omega) variará. Se f tiver uma grande quantidade de oscilação de onda omega, os números f (z) e tendem a se alinhar na mesma direção geral no plano complexo para diferentes z (exatamente a direção que depende da fase, como Observado acima). À medida que você se integra em z, o chapéu f (omega) torna-se relativamente grande. Por outro lado, se f não tem muita oscilação de onda omega nele, então o integrando acabará em todos os lados da origem para diferentes z e, à medida que você se integrar, o resultado f (omega) será pequeno. Uma resposta mais complicada (ainda assim vai ser imprecisa, porque eu não toquei isso em 15 anos.) É o seguinte. Em um espaço de 3 dimensões (por exemplo), você pode representar um vetor v pelas coordenadas do ponto final, x, y, z, de uma maneira muito simples. Você escolhe três vetores que são de comprimento unitário e ortogonais uns com os outros (uma base), digamos i. J e k. E calcula as coordenadas como tal: no espaço multidimensional, as equações ainda mantêm. Em um espaço infinito discreto, as coordenadas e os vetores base tornam-se uma seqüência. O produto ponto torna-se uma soma infinita. Em um espaço infinito contínuo (como o espaço de boas funções), as coordenadas e as bases se tornam funções e o produto ponto é uma integral infinita. Agora, a transformada de Fourier é exatamente esse tipo de operação (com base em um conjunto de funções básicas que são basicamente um conjunto de senos e cosenos). Em outras palavras, é uma representação diferente da mesma função em relação a um conjunto particular de funções de base. Como conseqüência, por exemplo, as funções do tempo, representadas contra funções de tempo e espaço (ou seja, integradas ao longo do tempo multiplicadas por funções de espaço e tempo), tornam-se funções do espaço, etc. Meu ponto é que uma transformação de Fourier é uma mudança de base (o que eu pessoalmente acho interessante sobre isso) - o que por sua vez (na minha humilde opinião) responde totalmente à pergunta. Mas, novamente, o ponto inteiro deste site é que alguém diz o que ele pensa e então a opinião de outros valoriza a resposta. Então, justo o suficiente. ) Ndash Sklivvz 9830 Jul 28 10 às 21:47 Acho que as idéias são mais claras no caso da discreta transformação de Fourier, que pode ser muito bem compreendida com nada além de álgebra linear de dimensões finitas. Aqui está um resumo de como se pode descobrir a discreta transformação de Fourier. Seja S o operador de mudança cíclica em mathbb CN definido por S begin x0 x1 vdots x end begin x1 vdots x x0 end. Um operador linear A: mathbb CN para mathbb CN é dito ser invariante por mudança se A (Sx) S (Ax) para todo x em mathbb CN. (Então, se você mudar a entrada, então a saída simplesmente será deslocada da mesma maneira). De forma mais concisa, A é mudança invariante se e somente se AS SA. Em outras palavras, um operador linear alternativo-alternativo é um comutador com o operador Shift S. Como os operadores invariantes em mudança são muito importantes no processamento de sinal e na análise numérica, gostaríamos de compreendê-los o melhor possível. E uma das melhores maneiras de entender um operador linear é encontrar uma base de autovetores para isso. Na álgebra linear, existem vários teoremas simultâneos de diagonalização que afirmam que, sob certas hipóteses, os operadores lineares que se deslocam podem ser simultaneamente diagonalizados. Isso sugere uma estratégia para diagonalizar um operador linear invariante de mudança A. Como A comuta com S, podemos primeiro encontrar uma base de vetores próprios para S. Então, podemos (espero) invocar um teorema simultâneo de diagonalização para mostrar que essa base de autovetores Para S é também uma base de autovetores para A. Observe que S preserva as normas, por isso é unitário. Todo operador unitário é normal. Assim, o teorema espectral garante que S possui uma base ortonormal de autovetores. Além disso, você poderia facilmente encontrar os autovetores de S à mão neste momento. Depois de um cálculo curto (e divertido), você descobriria que, se omega for uma Nth raiz da unidade, o vetor vomega começará 1 omega omega2 vdots omega end é um vetor próprio de S. E qual é o autovalor Vá em frente e mude o vomega agora mesmo, E você verá o autovalor imediatamente. Omega, certo Isso foi divertido Porque existem N raízes de unidade N distintas, encontramos N valores próprios distintos e respectivos eigenvectores para S. E, de fato, existe um teorema simultâneo de diagonalização que diz que, como os autovalores de S são distintos, Qualquer operador linear A que troca com S é diagonalizado pelos mesmos autovetores. Descobrimos agora como diagonalizar qualquer operador linear invariável em mudança. A base dos autovetores que descobrimos é chamada de base discreta de Fourier. A transformada discreta de Fourier é simplesmente a transformação linear que muda de base base padrão para a base discreta de Fourier. A Transformada Rápida de Fourier é utilizada na Engenharia para reduzir o tempo de Computação para a resolução de equações algébricas matriciais e equações de diferença de matriz. 2017 Stack Exchange, Inc